基础概念

Lazy_V2023/12/16大约 2 分钟

函数 (Functions)

作用域到值域的一对一映射关系：

f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}

提示

$\mathbb{R}$ 代表一维实数域。

高度图可以描述为：

f: \mathbb{R^2} \to \mathbb{R}

高度图是一个 2D 图，每个像素记录了一个高度值。通常可以用高度图来描述地形 (Terrain)。

f: \mathbb{R} \to \mathbb{R^2}

也就是： $f(t) = p$ 其中 $p$ 是一个二维坐标点 (x, y)。

f: \mathbb{R} \to \mathbb{R^3}

也就是： $f(t) = p$ 其中 $p$ 是一个三维坐标点 (x, y, z)。

把纹理映射到物体表面的关系可以描述为：

f: \Omega \to \mathbb{R^3}

其中 $\Omega$ 表示纹理域 (u, v)， $\mathbb{R^3}$ 表示空间域 (x, y, z)。

用于计算曲线的长度：

\int_{a}^{b} \sqrt{(1+f'(x)^2)} dx

当函数在 $x = a$ 时，左极限和右极限存在且相等，则 $f(x)$ 在 $x = a$ 处连续，又称为 $C^0$ 连续。

\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a) = \lim_{x \to a^+} f(x)

或者更正式一点：

对于给定的 $\delta > 0$ , 存在 $\epsilon > 0$ ，如果 $x \in (a - \epsilon, a + \epsilon)$ ，则 $f(x) \in (f(a) - \epsilon, f(a) + \epsilon)$ 。

对于 2D 情况，我们使用近邻 (Neighbourhoods)。近邻可以用三角形、矩形、圆形来描述。

\frac{\partial}{\partial{x}}(x^2y + y^3z - xyz) = 2xy - yz

\frac{\partial}{\partial{y}}(x^2y + y^3z - xyz) = x^2 + 3y^2z - xz

\frac{\partial}{\partial{z}}(x^2y + y^3z - xyz) = y^3 - xy

\vec{\nabla} f(x) = (\frac{\partial{f}}{\partial{x}}, \frac{\partial{f}}{\partial{y}}, \frac{\partial{f}}{\partial{z}})

常用数值方法：

这一部分属于科学计算(COMP5930M) 的内容。